《直線的傾斜角和斜率》教學(xué)設(shè)計(jì)

　　三、教學(xué)目標(biāo)

　　1.知識(shí)與技能：使學(xué)生理解傾斜角與斜率的概念，了解二者之間的關(guān)系，會(huì)求過(guò)已知兩點(diǎn)的直線的斜率;

　　2.過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)傾斜角與斜率的探討，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，提高解決問(wèn)題的能力;

　　3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在探索傾斜角與斜率的關(guān)系過(guò)程中，明確傾斜角的變化對(duì)斜率的影響，并在其中體驗(yàn)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度.

　　四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

　　重點(diǎn)：傾斜角、斜率、過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式;

　　難點(diǎn)：斜率;

　　對(duì)難點(diǎn)的處理：先從簡(jiǎn)單的過(guò)原點(diǎn)的直線入手，再分傾斜角為銳角、鈍角的情況去分析.

　　五、教學(xué)策略

　　對(duì)于“傾斜角與斜率”的教學(xué)，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，學(xué)生在問(wèn)題的激勵(lì)下主動(dòng)探究，教學(xué)方法采用師生互動(dòng)式;而“過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式”的教學(xué)則采用“學(xué)生探索、教師適時(shí)講解”的方法.

　　六、教學(xué)過(guò)程

　　(一)新知的引入：

　　在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出幾條不同直線，誘導(dǎo)學(xué)生思考，有何不同?

　　從而進(jìn)一步設(shè)計(jì)決定直線的位置有哪些條件呢?

　　(設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教師“問(wèn)題串”的引導(dǎo)下去思考，得出本章重要知識(shí)點(diǎn))

　　(二)概念的講解：通過(guò)討論我們已經(jīng)知道，決定直線的位置的條件是一個(gè)點(diǎn)與方向.那么如何刻劃直線的方向呢?學(xué)生肯定會(huì)想到角，也會(huì)想到用縱坐標(biāo)的變化量與橫坐標(biāo)的變化量的比值.這時(shí)就需要教師的適時(shí)點(diǎn)播—引出刻劃直線的方向的兩個(gè)量---直線的傾斜角和斜率.

　　一、直線的傾斜角與斜率

　　1. 傾斜角(

　　(1)傾斜角的定義：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸相交時(shí)，軸正向與直線向上方向之間所成的角;注：強(qiáng)調(diào)當(dāng)直線與坐標(biāo)軸軸平行時(shí)的傾斜角。

　　提問(wèn)：傾斜角的范圍是什么?(讓學(xué)生自己去解決)

　　(2)傾斜角的范圍：.

　　日常生活中，我們用坡度來(lái)刻劃道路的“傾斜程度”，坡度即坡面的鉛直高度和水平長(zhǎng)度的比;為了用坐標(biāo)的方法刻劃直線的傾斜角，引入直線的斜率概念(也可以從一次函數(shù)的解析式引入，其中的K就是斜率.)

　　2.斜率讓學(xué)生任畫一條直線，類比坡度的方法，用坐標(biāo)的方法刻劃“直線的坡度”-斜率;

　　(強(qiáng)調(diào)若直線傾斜角相等，則斜率也相等)

　　教師定義:當(dāng)橫坐標(biāo)從增加到時(shí)，縱坐標(biāo)從增加到稱為直線的斜率;

　　提問(wèn)：由此定義，你能發(fā)現(xiàn)斜率的其他形式的定義嗎?

　　再問(wèn)：若傾斜角為銳角，求斜率的取值范圍;若傾斜角在銳角內(nèi)變化，斜率如何變化?

　　(三)例題的講解(7分鐘)

　　例1：求下列直線的斜率：

　　(1) y=x (2)y=1 (3)x=0.

　　(四)課堂練習(xí)

　　(五)本節(jié)課小結(jié)

　　八、設(shè)計(jì)反思

　　在平面解析幾何《直線與方程》的教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過(guò)程：首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題;處理代數(shù)問(wèn)題;分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題。這種思想應(yīng)貫穿《直線與方程》一章教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

　　《直線的傾斜角和斜率》說(shuō)課稿

　　我說(shuō)的課是高中第二冊(cè)(上)第七章直線和圓的方程第一大節(jié)直線的傾斜角和斜率的第一節(jié)課。

　　一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)的確定

　　1、 教材的地位及作用

　　直線和圓的方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，直線的方程是研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系的基礎(chǔ)，同時(shí)也是討論圓的方程及其它圓錐曲線方程的基礎(chǔ)。為進(jìn)一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進(jìn)而建立直線斜率的概念。而作為直線方程的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，介紹了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題。故本節(jié)課是學(xué)好這一章內(nèi)容的關(guān)鍵。

　　2、 教學(xué)目的的認(rèn)識(shí)

　　依據(jù)教學(xué)大綱的目的和要求規(guī)定及新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，并結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：

　　(1)知識(shí)目標(biāo)：了解“直線的方程”和“方程的直線”的概念;理解直線的傾斜角和斜率的定義;掌握斜率公式，并會(huì)求直線的傾斜角和斜率。

　　(2)能力目標(biāo)：通過(guò)直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關(guān)系的揭示，以提高學(xué)生分析、比較、概括、化歸的數(shù)學(xué)能力,使學(xué)生初步了解用代數(shù)方程研究幾何問(wèn)題的思路，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

　　(3)情感目標(biāo)：幫助學(xué)生進(jìn)一步了解分類思想、數(shù)形結(jié)合思想，在教學(xué)中充分揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)、形的統(tǒng)一美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，對(duì)學(xué)生進(jìn)行對(duì)立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　1、本節(jié)的重點(diǎn)是直線的傾斜角和斜率概念，及斜率公式.直線的斜率是后繼內(nèi)容展開(kāi)的主線，無(wú)論是建立直線的方程，還是研究?jī)蓷l直線的位置關(guān)系，以及討論直線與二次曲線的位置關(guān)系，直線的斜率都發(fā)揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學(xué)好這一章的關(guān)鍵。

　　2、本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)“直線的方程”和“方程的直線”的概念以及對(duì)斜率概念的理解.學(xué)生對(duì)于用直線的傾斜角來(lái)刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切這兩個(gè)問(wèn)題卻并不容易接受。

　　三、教法、學(xué)法指導(dǎo)

　　1、學(xué)法輔導(dǎo)：

　　(1)學(xué)情介紹：

　　本課的教學(xué)對(duì)象是高二年學(xué)生，考慮到我校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維較為活躍，并針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中我通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境。

　　(2)本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)有三大項(xiàng)：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。學(xué)生思維也對(duì)應(yīng)三個(gè)高潮：傾斜角如何定義?為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立?相應(yīng)的教學(xué)過(guò)程也有三個(gè)階段：

　?、僭诮虒W(xué)中首先是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后通過(guò)討論明確用角來(lái)刻畫直線的方向，如何定義這個(gè)角呢?學(xué)生在討論中逐漸明確傾斜角的概念。

　　②本節(jié)的難點(diǎn)是對(duì)斜率概念的理解與過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式的建立。學(xué)生認(rèn)為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣。學(xué)生還會(huì)認(rèn)為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數(shù)量化嗎?再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率?要解決這些問(wèn)題，可引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想工程問(wèn)題中的“坡度”問(wèn)題，以及三角函數(shù)的定義。

　　(3)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，要學(xué)會(huì)展開(kāi)思維，教師的啟發(fā)、激勵(lì)，有利于思維的進(jìn)行;問(wèn)題情景的創(chuàng)設(shè)有利于思維的活躍。但教學(xué)是雙邊的活動(dòng)，教師要注意觀察學(xué)生是否動(dòng)起來(lái)，予以情緒調(diào)控，使學(xué)生有意識(shí)地開(kāi)動(dòng)腦筋，主動(dòng)投入。

　　2、教法方法：

　　斯托利亞爾指出“數(shù)學(xué)教學(xué)是教學(xué)活動(dòng)(思維活動(dòng))的教學(xué)，而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果——數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)”。本節(jié)內(nèi)容在教學(xué)中宜采用啟發(fā)式，設(shè)計(jì)為啟發(fā)、引導(dǎo)、探究、歸納、總結(jié)的教學(xué)模式。傾斜角如何定義?為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立?這三項(xiàng)教學(xué)任務(wù)都是在討論、交流、歸納中完成的。在此過(guò)程中學(xué)生的思維和能力得到充分的發(fā)展。教師的任務(wù)是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)爭(zhēng)論，組織交流，歸納總結(jié)。把教學(xué)內(nèi)容以問(wèn)題的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以便引起學(xué)生進(jìn)行反思，從而形成必要的認(rèn)知沖突，最終達(dá)到建構(gòu)新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　四、教學(xué)手段

　　本節(jié)課，除使用常規(guī)的教學(xué)手段外，我還使用多媒體課件輔助教學(xué)。把教學(xué)設(shè)計(jì)的步驟及內(nèi)容制成課件，利于突破重點(diǎn)、難點(diǎn)，還能節(jié)省時(shí)間，擴(kuò)大教學(xué)內(nèi)容，加快教學(xué)節(jié)奏，體現(xiàn)教改的新理念。

　　五、關(guān)于教學(xué)程序的設(shè)計(jì)

　　(一)知識(shí)導(dǎo)入階段

　　利用多媒體展示ssbezier變形曲線及笛卡兒簡(jiǎn)介，目的是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，及坐標(biāo)法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起了巨大作用。

　　(二)知識(shí)探索階段

　　(創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，展現(xiàn)概念形成過(guò)程)

　　1、直線的方程與方程的直線的定義

　　【問(wèn)題1】有了“一次函數(shù)的圖象”，為什么還要講“方程的直線”?

　　一次函數(shù)的圖象是一條直線，它能表示平面上的所有的直線?不能，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象，與坐標(biāo)平面上的直線的對(duì)應(yīng)，是一種不完美的對(duì)應(yīng)。坐標(biāo)平面上，有些直線不能用一次函數(shù)表示。(如x=2)那么該怎樣修補(bǔ)?

　　(方程的解 坐標(biāo) 直線的點(diǎn)，直線 方程)

　　定義：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn),反過(guò)來(lái),這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解,這時(shí),這個(gè)方程就叫做這條直線的方程,這條直線叫做這個(gè)方程的直線。

　　2、直線傾斜角定義

　　【問(wèn)題2】如何確定一條直線?

　　兩點(diǎn)確定一條直線.還有其他方法嗎?或者說(shuō)如果只給出一點(diǎn)，要確定這條直線還應(yīng)增加什么條件?

　　學(xué)生：思考，回憶，回答：這條直線的方向，或者說(shuō)傾斜程度。

　　(動(dòng)畫演示)展示直線的傾斜度的變化情況。

　　【問(wèn)題3】在坐標(biāo)系中的一條直線，我們用怎樣的角來(lái)刻畫直線的方向呢?

　　討論之前我們可以設(shè)想這個(gè)角應(yīng)該是怎樣的呢?它不僅能解決我們的問(wèn)題，同時(shí)還應(yīng)該是簡(jiǎn)單的、自然的。

　　學(xué)生：展開(kāi)討論，學(xué)生討論過(guò)程中會(huì)有錯(cuò)誤和不嚴(yán)謹(jǐn)之處，教師注意引導(dǎo)。

　　通過(guò)討論認(rèn)為：應(yīng)選擇α角來(lái)刻畫直線的方向.根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)，表明一個(gè)方向可以有無(wú)窮多個(gè)角，這里只需一個(gè)角即可(開(kāi)始時(shí)可能有學(xué)生認(rèn)為有四個(gè)角或兩個(gè)角)，當(dāng)然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念。

　　定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為 ，那么 就叫做直線 的傾斜角。

　　特別地，當(dāng) 與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定傾斜角為0°。

　　由此定義，角的范圍如何? 0°≤α<180°或0≤α<π

　　(教師強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：(1)直線的方向向上(2) 軸的正方向，(3)最小正角)

　　3、 直線斜率的定義

　　用傾斜角刻畫直線的方向，乃是幾何問(wèn)題，如何把直線方向量化?

　　【問(wèn)題4】為什么要用傾斜角的正切定義斜率?而不用正弦、余弦或余切哪?

　　可聯(lián)想到工程問(wèn)題中的“坡度”，及三角函數(shù)的定義。

　　定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。記作 ，即 。

　　(動(dòng)畫演示揭示直線傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系)強(qiáng)調(diào) 定義域與值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系，及函數(shù)的單調(diào)性。

　　4、 直線過(guò)兩點(diǎn)斜率公式的推導(dǎo)

　　【問(wèn)題5】如果給定直線的傾斜角 ，我們當(dāng)然可以根據(jù)斜率的定義 =tanα求出直線的斜率;如果給定直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線是確定的，傾斜角也是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢?

　　即已知兩點(diǎn)P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直線P1P2的斜率。

　　思路分析：首先由學(xué)生提出思路，教師啟發(fā)、引導(dǎo)，運(yùn)用正切定義，解決問(wèn)題。

　　; x1= x2?

　　說(shuō)明：(1)公式適用范圍：注意公式中x1≠x2，即直線P1 P2不垂直x軸。因此當(dāng)直線P1P2不垂直x軸時(shí)，由已知直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求得斜率，而不需要求出傾斜角。

　　(2)公式與P1 和P2的順序無(wú)關(guān)，但要注意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

　　(三)知識(shí)應(yīng)用階段

　　我設(shè)計(jì)了二道例題例1是道斜率與傾斜角概念的辨析題，而例2是課本的例題已知直線的傾斜角求斜率，還設(shè)計(jì)兩道變式題，目的是培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，討論傾斜角變化：銳角—鈍角—抽象角，對(duì)斜率的影響，加深同學(xué)對(duì)斜率與傾斜角對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解。

　　例1：關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說(shuō)法是正確的： (1)任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 ( ) (2)直線的傾斜角越大，它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x軸的直線的傾斜角是 ; ( ) (4)兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等; ( ) (5)直線斜率的范圍是(-∞，+∞) ; ( ) (6)直線的斜率為tan ,則直線的傾斜角為 ; ( ) 說(shuō)明：①當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°;②直線傾斜角的取值范圍是[ ;③傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.。④坐標(biāo)平面內(nèi)，每一條直線都有唯一的傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。 例2： 如圖，直線 的傾斜角 =30°，直線 ⊥ ，求 、 的斜率。 分析：對(duì)于直線 的斜率，可通過(guò)計(jì)算 直接獲得，而直線 的斜率則需要先求出傾斜角 ，而根據(jù)平面幾何知識(shí)， ，然后再求 即可。

　　解： 的斜率 =tan=tan30°= ，

　　∵ 的傾斜角 =90°+30°=120°，

　　∴ 的斜率 =tan120°=tan(180°-60°)

　　=-tan60°= 。

　　評(píng)述：此題要求學(xué)生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及特殊角正切值的確定。

　　【變式1】直線 的傾斜角 =150°，直線 ⊥ ，求 的斜率。

　　【變式2】已知直線 的傾斜角 ，直線 ⊥ ，求 的斜率及傾斜角。

　　(四)在學(xué)習(xí)小結(jié)階段：帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)和方法進(jìn)行梳理，本節(jié)須掌握三個(gè)概念：直線方程、傾斜角和斜率;兩個(gè)關(guān)系：直線的方程與方程的直線、斜率與傾斜角;兩個(gè)問(wèn)題：求傾斜角問(wèn)題，求斜率問(wèn)題。

　　(五)知識(shí)延伸拓展階段：

　　在知識(shí)延伸拓展階段，編制了三道思考題，在于拓寬學(xué)生的視野，斜率是聯(lián)結(jié)數(shù)與形的紐帶。體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想，達(dá)到因材施教的目的。

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