教案是教師對課程實施的設(shè)想、方案,以下是學(xué)習(xí)啦小編要與大家分享的：八年級數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)教案，供大家參考!

　　八年級數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)教案一

　　【教學(xué)目標(biāo)】

　　教學(xué)知識點

　　能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用;感悟轉(zhuǎn)化思想.

　　能力訓(xùn)練要求

　　在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.

　　情感與價值觀要求

　　通過有趣的問題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實用性,體現(xiàn)人人都學(xué)有所用的數(shù)學(xué).

　　【教學(xué)重難點】

　　重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題.

　　難點:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.

　　突破難點的方法:利用軸對稱性質(zhì),作任意已知點的對稱點,連接對稱點和已知點,得到一條線段,利用兩點之間線段最短來解決.

　　【教學(xué)過程】

　　一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題

　　師:前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“飲馬問題”.

　　(板書)課題

　　學(xué)生思考教師展示問題,并觀察圖片,獲得感性認識.

　　二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知

　　追問1:觀察思考,抽象為數(shù)學(xué)問題

　　這是一個實際問題,你打算首先做什么?

　　活動1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問題

　　將A,B 兩地抽象為兩個點,將河l 抽象為一條直線.

　　追問2 你能用自己的語言說明這個問題的意思, 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?

　　師生活動:學(xué)生嘗試回答, 并互相補充,最后達成共識:(1)從A 地出發(fā),到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B 連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A 地到飲馬地點,再回到B 地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設(shè)C 為直線上的一個動點,上面的問題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小(如圖).

　　強調(diào):將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”

　　活動2:嘗試解決數(shù)學(xué)問題

　　問題1 : 如圖,點A,B 在直線l 的同側(cè),點C 是直線上的一個動點,當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小?

　　追問1　你能利用軸對稱的有關(guān)知識,找到上問中符合條件的點B'嗎?

　　問題2　如圖,點A,B 在直線l 的同側(cè),點C 是直線上的一個動點,當(dāng)點C 在l 的什么位置時,AC 與CB的和最小?

　　師生活動:學(xué)生獨立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補充

　　如果學(xué)生有困難,教師可作如下提示

　　作法:

　　(1)作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B';

　　(2)連接AB',與直線l 相交于點C,則點C 即為所求.

　　如圖所示:

　　問題3　你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎?

　　教師展示:證明:如圖,在直線l 上任取一點C'(與點C 不重合),連接AC',BC',B'C'.

　　由軸對稱的性質(zhì)知,

　　BC =B'C,BC'=B'C'.

　　∴AC +BC= AC +B'C = AB',

　　AC'+BC'= AC'+B'C'.

　　在△AC'B'中,

　　AC'+B'C'>AB',

　　∴當(dāng)只有在C點位置時,

　　AC+BC最短.

　　方法提煉:

　　將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.

　　問題4

　　練習(xí)　如圖,一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客,然后將游客送往河岸BC 上,再返回P 處,請畫出旅游船的最短路徑.

　　基本思路:由于兩點之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為?條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P,Q 在直線BC 的同側(cè),如何在BC上找到一點R,使PR與QR 的和最小”.

　　問題5　造橋選址問題

　　如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)

　　思維分析:1.如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢?

　　2.利用線段公理解決問題:我們遇到了什么障礙呢?

　　思維點撥:在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能幫助我們呢?(估計有以下方法)

　　1.把A平移到岸邊.

　　2.把B平移到岸邊.

　　3.把橋平移到和A相連.

　　4.把橋平移到和B相連.

　　教師:上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢?請檢驗.

　　1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢?把A或B分別向下或上平移一個橋長,那么怎樣確定橋的位置呢?

　　問題解決:如圖,平移A到A1,使AA1等于河寬,連接A1B交河岸于N.作橋MN,此時路徑AM+MN+BN最短. 理由:另任作橋M1N1,連接AM1,BN1,A1N1. 由平移性質(zhì)可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1. AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1 轉(zhuǎn)化為AA1+A1N1+BN1. 在△A1N1B中,由線段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1> AM+MN+BN,如圖所示:

　　三、鞏固訓(xùn)練

　　(一)基礎(chǔ)訓(xùn)練

　　1.最短路徑問題

　　(1)求直線異側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點,與直線的交點即為所求.

　　如圖所示,點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時點C是直線l與AB的交點.

　　(2)求直線同側(cè)的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個點關(guān)于這條直線的對稱點,連接對稱點與另一個點,則與該直線的交點即為所求.

　　如圖所示,點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點,在l上找一個點C,使CA+CB最短,這時先作點B關(guān)于直線l的對稱點B',則點C是直線l與AB'的交點.

　　2.如圖,A和B兩地之間有兩條河,現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河岸垂直)

　　如圖,問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+QB.橋MN和PQ在中間,且方向不能改變,仍無法直接利用“兩點之間,線段最短”解決問題,只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè).平移的方法有三種:兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處,PQ平移到B點處.

　　八年級數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)教案二

　　一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

　　1內(nèi)容

　　利用軸對稱研究某些最短路徑問題.

　　2內(nèi)容解析

　　最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究.

　　本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題——“飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短” (或“三角形兩邊之和大于第三邊”)問題.

　　基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題.

　　二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

　　1目標(biāo)

　　能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.

　　2目標(biāo)解析

　　達成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生能將實際問題中的“地點”“河”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”“線”，把實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題;能利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短” 問題;能通過邏輯推理證明所求距離最短;在探索最短路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想.

　　三、教學(xué)問題診斷分析

　　最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學(xué)生，在此前很少在幾何中涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手.

　　解答“當(dāng)點A，B在直線l的同側(cè)時，如何在l找到點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“直線l異側(cè)的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學(xué)生會存在理解上和操作上的困難.

　　在證明“最短”時，需要在直線上任取一點(與所求作的點不重合)，證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學(xué)生想不到.

　　教學(xué)時，教師可以讓學(xué)生首先思考“直線l異側(cè)的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”，為學(xué)生搭建“腳手架”.在證明“最短”時，教師要適時點撥學(xué)生，讓學(xué)生體會“任意”的作用.

　　本節(jié)課的教學(xué)難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.

　　四、教學(xué)過程設(shè)計

　　引言

　　前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用說學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史中著名的“飲馬問題”.

　　1將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題

　　問題1 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫.有一天，一位專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

　　從圖1 中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?

　　精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“飲馬問題”.

　　你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?

　　圖1圖(1)這是一個實際問題，你打算首先做什么?

　　師生活動：學(xué)生回答——將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線(圖2).

　　(2)你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎?

　　師生活動：學(xué)生嘗試回答，并相互補充，最后達成共識：(1)從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地;(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設(shè)C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小(圖3).

　　設(shè)計意圖：2.嘗試解決數(shù)學(xué)問題

　　問題2 如圖3，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小?

　　師生活動：學(xué)生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，相互補充.

　　如果學(xué)生有困難，教師可作如下提示：

　　(1)如圖4，點A，B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點分別到點A與點B的距離和最短?

　　(2)對于問題2，如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等?

　　(3)你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到(2)中符合條件的點B′嗎?

　　對于(1)，學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過的知識，很容易解決這個問題.即：連接AB，與直線l相交于一點，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求;對于(2)(3)，學(xué)生獨立思考后，嘗試畫圖，尋找符合條件的點，然后小組交流，學(xué)生代表匯報交流結(jié)果，師生共同補充.得出：只要作出點B關(guān)于l的對稱點B′，就可以滿足CB′CB(圖5).再利用(1)的方法，連接AB′，則AB′與直線l的交點即為所求.

　　學(xué)生敘述，教師板書，并畫圖(圖5)，同時學(xué)生在自己的練習(xí)本上畫圖.

　　作法：(1)作點B關(guān)于直線l的對稱點B′;

　　(2)連接AB′，與直線l相交于點C.

　　則點C即為所求.

　　設(shè)計意圖：通3.證明“最短”

　　問題3：你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎?

　　師生活動：師生共同分析，然后學(xué)生說明證明過程，教師板書：

　　證明：如圖6，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′.

　　由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′.

　　∴ AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.

　　在△AB′C′中，AB′

　　∴ AC+BC

　　即AC+BC最短.

　　追問1：證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，證明AC+BC

　　師生活動：學(xué)生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線l上任意一點(與點C不重合)與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小.

　　設(shè)計意圖：追問2: 回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的?

　　師生活動：學(xué)生回答，并相互補充.

　　設(shè)計意圖：練習(xí)

　　如圖7，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，請畫出旅游船的最短路徑.

　　師生活動：學(xué)生分析解題思路，并相互補充，然后獨立完成畫圖.其基本思路為：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉(zhuǎn)化為“點P，Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC找到一點R，使PR與QR的和最小”.

　　設(shè)計意圖：.小結(jié)

　　教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：

　　(1)本節(jié)課研究問題的基本過程是什么?

　　(2)軸對稱在所研究問題中起什么作用?

　　設(shè)計意圖：

　　5.布置作業(yè)