集合概念及其理論，成為集合論，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)。以下是有關(guān)集合的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)，歡迎大家參閱!

　　《集合的基本運(yùn)算》知識(shí)復(fù)習(xí)

　　三維目標(biāo)

　　1.理解兩個(gè)集合的并集與交集、全集的含義，掌握求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集的方法，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集，感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)的簡(jiǎn)潔和準(zhǔn)確，進(jìn)一步提高類比的能力.

　　2.通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運(yùn)算.體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想.

　　重點(diǎn)難點(diǎn)

　　教學(xué)重點(diǎn)：交集與并集、全集與補(bǔ)集的概念.

　　教學(xué)難點(diǎn)：理解交集與并集的概念，以及符號(hào)之間的區(qū)別與聯(lián)系

　　導(dǎo)入新課

　　思路1.我們知道，實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相加，例如5+3=8.類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，集合是否也可以“相加”呢?教師直接點(diǎn)出課題.

　　思路2.請(qǐng)同學(xué)們考察下列各個(gè)集合，你能說出集合C與集合A，B之間的關(guān)系嗎?

　　(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，C={1,2,3,4,5,6};

　　(2)A={x|x是有理數(shù)}，B={x|x是無理數(shù)}，C={x|x是實(shí)數(shù)}.

　　引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、類比、思考和交流，得出結(jié)論.教師強(qiáng)調(diào)集合也有運(yùn)算，這就是我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

　　思路3.(1)①如圖1甲和乙所示，觀察兩個(gè)圖的陰影部分，它們分別同集合A、集合B有什么關(guān)系?

　　②觀察集合A，B與集合C={1,2,3,4}之間的關(guān)系.

　　學(xué)生思考交流并回答，教師直接指出這就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的課題：集合的基本運(yùn)算.

　　(2)①已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，寫出由集合A，B中的所有元素組成的集合C.

　　②已知集合A={x|x>1}，B={x|x<0}，在數(shù)軸上表示出集合A與B，并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.

　　提出問題

　　(1)通過上述問題中集合A，B與集合C之間的關(guān)系，類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，你發(fā)現(xiàn)了什么?

　　(2)用文字語言來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關(guān)系.

　　(3)用數(shù)學(xué)符號(hào)來敘述上述問題中，集合A，B與集合C之間的關(guān)系.

　　(4)試用Venn圖表示A∪B=C.

　　(5)請(qǐng)給出集合的并集定義.

　　(6)求集合的并集是集合間的一種運(yùn)算，那么，集合間還有其他運(yùn)算嗎?

　　請(qǐng)同學(xué)們考察下面的問題，集合A，B與集合C之間有什么關(guān)系?

　?、貯={2,4,6,8,10}，B={3,5,8,12}，C={8};

　　②A={x|x是國興中學(xué)2012年9月入學(xué)的高一年級(jí)女同學(xué)}，B={x|x是國興中學(xué)2012年9月入學(xué)的高一年級(jí)男同學(xué)}，C={x|x是國興中學(xué)2012年9月入學(xué)的高一年級(jí)同學(xué)}.

　　(7)類比集合的并集，請(qǐng)給出集合的交集定義，并分別用三種不同的語言形式來表達(dá).

　　活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論問題，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，并對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路，主要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運(yùn)算并能用數(shù)學(xué)符號(hào)來刻畫，用Venn圖來表示.

　　討論結(jié)果：(1)集合之間也可以相加，也可以進(jìn)行運(yùn)算，但是為了不和實(shí)數(shù)的運(yùn)算相混淆，規(guī)定這種運(yùn)算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C，讀作A并B.

　　(2)所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成了集合C.

　　(3)C={x|x∈A，或x∈B}.

　　(4)如圖1所示.

　　(5)一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.其含義用符號(hào)表示為A∪B={x|x∈A，或x∈B}，用Venn圖表示，如圖1所示.

　　(6)集合之間還可以求它們的公共元素組成的集合，這種運(yùn)算叫求集合的交集，記作A∩B，讀作A交B.①A∩B=C，②A∪B=C.

　　(7)一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.

　　其含義用符號(hào)表示為：

　　A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　用Venn圖表示，如圖2所示.

　　圖2

　　應(yīng)用示例

　　例1 集合A={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，則A∩B，B∪C，A∩B∩C分別是什么?

　　活動(dòng)：學(xué)生先思考集合中元素的特征，明確集合中的元素.將集合中元素利用數(shù)形結(jié)合在數(shù)軸上找到，那么運(yùn)算結(jié)果尋求就易進(jìn)行.這三個(gè)集合都是用描述法表示的數(shù)集，求集合的并集和交集的關(guān)鍵是找出它們的公共元素和所有元素.

　　解：因?yàn)锳={x|x<5}，B={x|x>0}，C={x|x≥10}，在數(shù)軸上表示，如圖3所示，所以A∩B={x|00}，A∩B∩C= .

　　圖3

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的交集和并集.求集合的并集和交集時(shí)，①明確集合中的元素;②依據(jù)并集和交集的含義，直接觀察或借助于數(shù)軸或Venn圖寫出結(jié)果.

　　變式訓(xùn)練

　　1.設(shè)集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

　　解：對(duì)任意m∈A，則有m=2n=2•2n-1，n∈N*，因n∈N*，故n-1∈N，有2n-1∈N，那么m∈B，即對(duì)任意m∈A有m∈B，所以A⊆B.

　　而10∈B但10 A，即A B，那么A∩B=A，A∪B=B.

　　2.求滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù).

　　解：滿足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B一定含有元素3，B={3};還可含1或2其中一個(gè)，有{1,3}，{2,3};還可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4個(gè)滿足條件的集合B.

　　3.設(shè)集合A={-4,2，a-1，a2}，B={9，a-5,1-a}，已知A∩B={9}，求a.

　　解：∵A∩B={9}，則9∈A，a-1=9或a2=9.

　　∴a=10或a=±3.

　　當(dāng)a=10時(shí)，a-5=5 ,1-a=-9;

　　當(dāng)a=3時(shí)，a-1=2不合題意;

　　當(dāng)a=-3時(shí)，a-1=-4不合題意.

　　故a=10.此時(shí)A={-4,2,9,100}，B={9,5，-9}，滿足A∩B={9}.

　　4.設(shè)集合A={x|2x+1<3}，B={x|-3

　　A.{x|-3

　　C.{x|x>-3} D.{x|x<1}

　　解析：集合A={x|2x+1<3}={x|x<1}，

　　觀察或由數(shù)軸得A∩B={x|-3

　　答案：A

　　例2 設(shè)集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值.

　　活動(dòng)：明確集合A，B中的元素，教師和學(xué)生共同探討滿足A∩B=B的集合A，B的關(guān)系.集 合A是方程x2+4x=0的解組成的集合，可以發(fā)現(xiàn)，B⊆A，通過分類討論集合B是否為空集來求a的值.利用集合的表示 法來認(rèn)識(shí)集合A，B均是方程的解集，通過畫Venn圖發(fā)現(xiàn)集合A，B的關(guān)系，從數(shù)軸上分析求得a的值.

　　解：由題意得A={-4,0}.

　　∵A∩B=B，∴B⊆A.

　　∴B= 或B≠ .

　　當(dāng)B= 時(shí)，即關(guān)于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0無實(shí)數(shù)解，

　　則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1.

　　當(dāng)B≠ 時(shí)，若集合B僅含有一個(gè)元素，則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1，

　　此時(shí)，B={x|x2=0}={0}⊆A，即a=-1符合題意.

　　若集合B含有兩個(gè)元素，則這兩個(gè)元素是-4,0，

　　即關(guān)于x的方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解是-4,0.

　　則有-4+0=-2(a+1)，-4×0=a2-1.

　　解得a=1，則a=1符合題意.

　　綜上所得，a=1或a≤-1.

　　變式訓(xùn)練

　　1.已知非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，則能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么?

　　解：由題意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用數(shù)軸得 解得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}.

　　2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，集合B={x|m+1≤x≤2m -1}，且A∪B=A，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

　　分析：由A∪B=A得B⊆A，則有B= 或B≠ ，因此對(duì)集合B分類討論.

　　解：∵A∪B=A，∴B⊆A.

　　又∵A={x|-2≤x≤5}≠ ，∴B= ，或B≠ .

　　當(dāng)B= 時(shí)，有m+1>2m-1，∴m<2.

　　當(dāng)B≠ 時(shí)，觀察圖4：

　　圖4

　　由數(shù)軸可得 解得2≤m≤3.

　　綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m<2或2≤m≤3，即m≤3.

　　點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合的運(yùn)算、分類討論的思想，以及集合間關(guān)系的應(yīng)用.已知兩個(gè)集合的運(yùn)算結(jié)果，求集合中參數(shù)的值時(shí)，由集合的運(yùn)算結(jié)果確定它們的關(guān)系，通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，把相關(guān)問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學(xué)問題.這稱為數(shù)學(xué)的化歸思想，是數(shù)學(xué)中的常用方法，學(xué)會(huì)應(yīng)用化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)問題.