第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知全集，集合，則( )

A. B. C. D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足，則( )

A.1 B.5 C.7 D.25

3.若直線是圓的一條對稱軸，則( )

A. B. C.1 D.

4.已知函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有( )

A. B.

C. D.

5.已知函數(shù)，則( )

A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增

C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增

6.設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的( )

A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

7.在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K;P表示壓強(qiáng)，單位是.下列結(jié)論中正確的是( )

A.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)

B.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

8.若，則( )

A.40 B.41 C. D.

9.已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為( )

A. B. C. D.

10.在中，.P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是( )

A. B. C. D.

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)的定義域是_________.

12.已知雙曲線的漸近線方程為，則__________.

13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則________;________.

14.設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為________;a的最大值為___________.

15.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①的第2項(xiàng)小于3; ②為等比數(shù)列;

③為遞減數(shù)列; ④中存在小于的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號是__________.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(本小題13分)

在中，.

(I)求;

(II)若，且的面積為，求的周長.

17.(本小題14分)

如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn).

(I)求證：平面;

(II)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

條件①：;

條件②：.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題13分)

在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上(含)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

(I)估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;

(II)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;

(III)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

19.(本小題15分)

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為.

(I)求橢圓E的方程;

(II)過點(diǎn)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N，當(dāng)時(shí)，求k的值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù).

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(II)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性;

(III)證明：對任意的，有.

21.(本小題15分)

已知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列.

(I)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列?說明理由;

(II)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4;

(III)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：.

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)數(shù)學(xué)參考答案

第一部分(選擇題 共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1. D 2. B 3. A 4. C 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. D

第二部分(非選擇題 共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.

12.

13. ①. 1 ②.

14. ①. 0(答案不唯一) ②. 1

15.①③④

三、解答題共6小愿，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.(1)

(2)

17.(1)取的中點(diǎn)為，連接，

由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，

而，則，

而平面，平面，故平面，

而，則，同理可得平面，

而平面，

故平面平面，而平面，故平面，

(2)因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，

而平面，平面平面，

平面平面，故平面，

因?yàn)椋势矫妫?/p>

因?yàn)槠矫?，故?/p>

若選①，則，而，，

故平面，而平面，故，

所以，而，，故平面，

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則，從而，取，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

若選②，因，故平面，而平面，

故，而，故，

而，，故，

所以，故，

而，，故平面，

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，

故，

設(shè)平面的法向量為，

則，從而，取，則，

設(shè)直線與平面所成的角為，則

.

18.(1)0.4 (2)

(3)丙

19.(1)

(2)

20.(1)

(2)在上單調(diào)遞增.

(3)解：原不等式等價(jià)于，

令，，

即證，

∵，

，

由(2)知在上單調(diào)遞增，

∴，

∴

∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?/p>

∴，所以命題得證.

21.(1)是連續(xù)可表數(shù)列;不是連續(xù)可表數(shù)列.

(2)若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒有個(gè)，矛盾;

當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿足，，，，，，，， .

(3)，若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，

若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,

從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，

而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰 21個(gè))，這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對值最小，同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為 ，

則所有數(shù)之和，，

，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，

(僅一種方式)，

與2相鄰，

若不在兩端,則形式，

若，則(有2種結(jié)果相同，方式矛盾)，

， 同理 ，故在一端，不妨為形式，

若,則 (有2種結(jié)果相同，矛盾)，同理不行，

，則 (有2種結(jié)果相同，矛盾)，從而，

由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、

故只能，①或，②

這2種情形，

對①：，矛盾，

對②：，也矛盾，綜上

如何學(xué)好數(shù)學(xué)

其實(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是沒有什么簡單的方法的，都是經(jīng)過腳踏實(shí)地一步步學(xué)習(xí)的，所以不要想著有什么捷徑，我們只有清晰的認(rèn)識到數(shù)學(xué)應(yīng)該怎么學(xué)習(xí)，才能找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該用什么方法。如果你真的打算好好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了在上課的時(shí)候，認(rèn)真的聽課以外，最主要的就是做題了，其實(shí)理科當(dāng)中，不僅是數(shù)學(xué)需要多做題，其他的科目也是需要多做題的。

做題的時(shí)候，不能說這道題我們不會，就不做了，一定要好好的研究一下，然后讓老師或者是同學(xué)給自己講解一下，自己回來之后，多專研，然后把它寫在自己的本子上，最好能有一個(gè)單獨(dú)的本子，記錄這些自己不會的題，在記錄的時(shí)候，要解題的思路和步驟都寫好，這樣你再翻看的時(shí)候，如果還是不會，看到解題的思路和步驟，就會把這道題在心理理順一遍，這樣對自己做這道題有很大的幫助。

高中學(xué)數(shù)學(xué)的小竅門有哪些

1.背誦數(shù)學(xué)公式

數(shù)學(xué)的出題方式有很多種，但是解題方法卻是相對固定的，需要熟練掌握數(shù)學(xué)公式。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的時(shí)候，我們一定要先把數(shù)學(xué)公式背誦清楚，做到在考試的時(shí)候能夠記得起計(jì)算公式，這是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵步驟。如果連數(shù)學(xué)公式都不記得，那做題和解題就無從談起了。

2.做多數(shù)學(xué)題目

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容比較多，只有通過多做數(shù)學(xué)題目才能加深對所學(xué)內(nèi)容的理解。一般來說，在應(yīng)試教育的指揮棒下，多做練習(xí)題目是所有高中科目都采取的一種方式。因?yàn)榭荚嚨拇缶V是相對固定不變的，而且考試范圍也不會超過教科書和考試大綱的范圍。因此，出題的渠道都是圍繞教科書和大綱，無論怎么出題都離不開教科書和大綱。所以，通過多做題目可以達(dá)到提高效率的目的。

3.學(xué)會獨(dú)立思考

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要具備一定的邏輯思維能力，通過獨(dú)立思考可以提高學(xué)習(xí)效果。在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的時(shí)候，尤其是遇到難題的時(shí)候，千萬不要著急去翻看解題技巧和參考答案，而是應(yīng)該先思考怎么去答題。首先就是要從腦海當(dāng)中去想一想有沒有在課堂上學(xué)習(xí)過這個(gè)題目，有沒有這個(gè)題目的解題方法和路徑，其次再是嘗試去解題。通過這樣的思維發(fā)散，可以提高解題的技巧，從而有利于學(xué)好高中數(shù)學(xué)。