數(shù)列問題

　　數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。

　　近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面;(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí)，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式。(2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合。(3)數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長(zhǎng)率問題為主。試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大。

　　知識(shí)整合

　　1. 在掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問題;

　　2. 在解決綜合題和探索性問題實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問題和解決問題的能力，

　　進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力。

　　3. 培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問題的自覺性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法。

　　數(shù)列解題方法剖析

　　一、基礎(chǔ)知識(shí)

　　數(shù)列：

　　1.數(shù)列、項(xiàng)的概念：按一定排列的一列數(shù)，叫做的項(xiàng)

　　2.數(shù)列的表示：一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，(…)an是

　　該數(shù)列的第 n 項(xiàng)，列表法、 圖象法、 符號(hào)法、 列舉法、 解析法、 公式法(通項(xiàng)公式、遞推公式、求和公式)都是表示數(shù)列的方法. 3.數(shù)列的一般性質(zhì) .

　　4.數(shù)列的分類：

　?、侔错?xiàng)的數(shù)量分： 有窮數(shù)列 、 無(wú)窮數(shù)列 ;

　　②按相鄰項(xiàng)的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列 、遞減數(shù)列 、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列 、其他; ③按項(xiàng)的變化規(guī)律分：等差數(shù)列、等比數(shù)列、其他;

　　④按項(xiàng)的變化范圍分：有界數(shù)列、無(wú)界數(shù)列.

　　5.數(shù)列的通項(xiàng)公式：{an}

　　6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)

　　an-1(或前幾項(xiàng)an-1，an-2，…?1)(n=2，3，…) (或 ?1n?2)(n=3，4，5，…)，…)來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的 遞推公式 .

　　7.數(shù)列的前：Sn

　　8.通項(xiàng)公式與求和公式的關(guān)系：

　　通項(xiàng)公式an與求和公式Sn的關(guān)系可表示為：an???S1(n?1)

　　?Sn?Sn?1(n?2)

　　1

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　　2

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　　數(shù)列求和的常用方法：

　　1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求和。 2、錯(cuò)位相減法：適用于差比數(shù)列(如果?an?等差，?bn?等比，那么?anbn?叫做差比

　　數(shù)列)

　　即把每一項(xiàng)都乘以?bn?的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次項(xiàng)相減，

　　轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。

　　3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng)，可求和。

　　??1?? 適用于數(shù)列?和(其中?an?等差) ??an?

　　an?1?

　　11111?(?)?

　　an?an?1danan?1d

　　數(shù)列通項(xiàng)的求法：

　?、殴椒ǎ孩俚炔顢?shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。 ⑵已知Sn(即a1?a2?

　　S,(n?1)

　　?an?f(n))求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。

　　nn?1

　　?

　　f(1),(n?1)??f(n)

　　已知a1a2。 an?f(n)求an，用作商法：an??

　　,(n?2)

　　??f(n?1)

　?、且阎獥l件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求an;有時(shí)也可直接求an。

　　⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?

　　?(a2?a1)

　　?a1(n?2)。

　　aaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1?

　　anan?1an?2

　　?

　　a2

　　?a1(n?2)。 a1

　?、室阎f推關(guān)系求an，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。

　　特別地，(1)形如an?kan?1?b、an?kan?1?b(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an;形如an?kan?1?k的遞推數(shù)列都可以除以k得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。

　　(2)形如an?

　　n

　　n

　　n

　　an?1

　　的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。

　　kan?1?b

　　3

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　　(3)形如an?1?ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。

　　(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。

　　(8)當(dāng)遇到an?1?an?1?d或an?1?q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可能是分段an?1

　　形式。

　　數(shù)列求和的常用方法：

　　(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式。

　　(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。

　　(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).

　　(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).

　　(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ??; ②?(?);

　　1? ; d

　　11111?(?)(放縮法)④2?2;

　　kk?12k?1k?1

　　???(放縮法)⑤?; ①

　　二、解題方法：

　　求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法：

　　1、公式法

　　2、由Sn求an

　　(n?1時(shí)，a1?S1，n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1)

　　3、求差(商)法

　　111a1?2a2????nan?2n?5222

　　1 解：n?1時(shí)，a1?2?1?5，∴a1?14 2

　　111 n?2時(shí)，a1?2a2????n?1an?1?2n?1?5222

　　1 ?1???2?得：nan?2 2 如：?an?滿足

　　∴an?2

　　n?1?1? ?2? 4

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　　∴an??

　　[練習(xí)] ?14(n?1)?2n?1(n?2)

　　數(shù)列?an?滿足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3

　　(注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：Sn?1?4 Sn

　　又S1?4，∴?Sn?是等比數(shù)列，Sn?4n

　　n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1????3?4n?1

　　4、疊乘法，題型：an+1=f(n)an

　　例如：數(shù)列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1

　　解：a2aaa12n?11?3??n????，∴n? a1a2an?123na1n

　　3 n 又a1?3，∴an?

　　5、等差型遞推公式(疊加法)，類型：an+1=an+f(n)

　　由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

　　n?2時(shí)，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?兩邊相加，得： ?????

　　an?an?1?f(n)??

　　an?a1?f(2)?f(3)????f(n)

　　∴an?a0?f(2)?f(3)????f(n)

　　[練習(xí)]

　　數(shù)列?an?，a1?1，an?3n?1?an?1?n?2?，求an (an?1n3?1) 2??

　　6、等比型遞推公式

　　an?can?1?dc、d為常數(shù)，c?0，c?1，d?0 ?? 5

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　　可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an?x?c?an?1?x?

　　?an?can?1??c?1?x

　　令(c?1)x?d，∴x?

　　∴?an?d c?1?

　　?d?d，c為公比的等比數(shù)列 ?是首項(xiàng)為a1?c?1?c?1

　　∴an?dd??n?1??a1??c c?1?c?1?

　　?

　　?d?n?1d ?c?c?1?c?1 ∴an??a1?

　　[練習(xí)]

　　數(shù)列?an?滿足a1?9，3an?1?an?4，求an

　　?4? (an?8????3?

　　7、倒數(shù)法 n?1?1)

　　例如：a1?1，an?1?2an，求an an?2

　　由已知得：1

　　an?1?an?211 ??2an2an

　　∴1

　　an?1?11? an2

　　???1?11 為等差數(shù)列，?1，公差為?aa21?n?

　　111?1??n?1????n?1? an22

　　2

　　n?1 ? ∴an?

　　數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法：

　　1、公式法：等差、等比前n項(xiàng)和公式

　　2、裂項(xiàng)法：把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對(duì)互為相反數(shù)的項(xiàng)。 6

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　　如：?an?是公差為d的等差數(shù)列，求1 ?k?1akak?1n

　　解：由

　　n111?11???????d?0? ak?ak?1akak?dd?akak?1?n11?11? ∴?????? aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

　　?11??11??11?1???????????????????d??a1a2??a2a3??anan?1??

　　1?11?????d?a1an?1?

　　[練習(xí)]

　　求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3????n

　　1) n?1 (an??????，Sn?2?

　　3、錯(cuò)位相減法：

　　若?an?為等差數(shù)列，?bn?為等比數(shù)列，求數(shù)列?anbn?(差比數(shù)列)前n項(xiàng) 和，可由Sn?qSn求Sn，其中q為?bn?的公比。

　　如：Sn?1?2x?3x?4x????nx23n?1?1?

　　?2? x?Sn?x?2x2?3x3?4x4?????n?1?xn?1?nxn

　　?1???2?：?1?x?Sn?1?x?x2????xn?1?nxn x?1時(shí)，Sn1?x?nx???nn

　　?1?x?21?x

　　x?1時(shí)，Sn?1?2?3????n?

　　練習(xí)：(選自年高考預(yù)測(cè)卷) n?n?1?2

　　?a?a?1,a2?a3?6. 18.(本小題滿分12分)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列n中，1

　　(Ⅰ)求數(shù)列?an?通項(xiàng)公式;

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