3.梯形中常用輔助線的添法

　　梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

　　(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

　　(2)梯形外平移一腰

　　(3)梯形內(nèi)平移兩腰

　　(4)延長兩腰

　　(5)過梯形上底的兩端點向下底作高

　　(6)平移對角線

　　(7)連接梯形一頂點及一腰的中點。

　　(8)過一腰的中點作另一腰的平行線。

　　(9)作中位線

　　當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

　　4.圓中常用輔助線的添法

　　在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時，常常需要添加適當?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。

　　(1)見弦作弦心距

　　有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時還須作出相應的半徑)，通過垂徑平分定理，來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

　　(2)見直徑作圓周角

　　在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是直角"這一特征來證明問題。

　　(3)見切線作半徑

　　命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來證明問題。

　　(4)兩圓相切作公切線

　　對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

　　(5)兩圓相交作公共弦

　　對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

　　三、作輔助線的方法

　　1、中點、中位線，延線，平行線。

　　如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線;另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應用某個定理或造成全等的目的。

　　2、垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。

　　如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時輔助線的做法就會應運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。

　　3、邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。

　　如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。

　　4、造角、平、相似，和、差、積、商見。

　　如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角;第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見。”

　　托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)

　　5、兩圓若相交，連心公共弦。

　　如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

　　6、兩圓相切、離，連心，公切線。

　　如條件中出現(xiàn)兩圓相切(外切，內(nèi)切)，或相離(內(nèi)含、外離)，那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。

　　7、切線連直徑，直角與半圓。

　　如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點的直徑或半徑使出現(xiàn)直角;相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑(或半徑)端點的切線。即切線與直徑互為輔助線。

　　如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓;相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

　　8、弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。

　　如遇弧，則弧上的弦是輔助線;如遇弦，則弦心距為輔助線。

　　如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線;反之，亦成立。

　　如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。

　　有時，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。

　　9、面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

　　如遇求面積，(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

　　如遇多邊形，想法割補成三角形;反之，亦成立。

　　另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)?rdquo;。