《完全平方公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

　　計(jì)算：

　　(1)(x+1)2; (2)(x-1)2;

　　(3)(a+b)2; (4)(a-b)2.

　　由上述計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?

　　二、合作探究

　　探究點(diǎn)：完全平方公式

　　【類型一】 直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算

　　利用完全平方公式計(jì)算：

　　(1)(5-a)2;

　　(2)(-3m-4n)2;

　　(3)(-3a+b)2.

　　解析：直接運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.

　　解：(1)(5-a)2=25-10a+a2;

　　(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2;

　　(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.

　　方法總結(jié)：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

　　【類型二】 構(gòu)造完全平方式

　　如果36x2+(m+1)xy+25y2是一個(gè)完全平方式，求m的值.

　　解析：先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式確定m的值.

　　解：∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xy+(5y)2，∴(m+1)xy=±2?6x?5y，∴m+1=±60，∴m=59或-61.

　　方法總結(jié)：兩數(shù)的平方和加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.

　　【類型三】 運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行簡便計(jì)算

　　利用完全平方公式計(jì)算：

　　(1)992; (2)1022.

　　解析：(1)把99寫成(100-1)的形式，然后利用完全平方公式展開計(jì)算.(2)可把102分成100+2，然后根據(jù)完全平方公式計(jì)算.

　　解：(1)992=(100-1)2=1002-2×100+12=10000-200+1=9801;

　　(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+4=10404.

　　方法總結(jié)：利用完全平方公式計(jì)算一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，先把這個(gè)數(shù)寫成整十或整百的數(shù)與另一個(gè)數(shù)的和或差，然后根據(jù)完全平方公式展開計(jì)算.

　　【類型四】 靈活運(yùn)用完全平方公式求代數(shù)式的值

　　若(x+y)2=9，且(x-y)2=1.

　　(1)求1x2+1y2的值;

　　(2)求(x2+1)(y2+1)的值.

　　解析：(1)先去括號，再整體代入即可求出答案;(2)先變形，再整體代入，即可求出答案.

　　解：(1)∵(x+y)2=9，(x-y)2=1，∴x2+2xy+y2=9，x2-2xy+y2=1，4xy=9-1=8，∴xy=2，∴1x2+1y2=x2+y2x2y2=(x+y)2-2xyx2y2=9-2×222=54;

　　(2)∵(x+y)2=9，xy=2，∴(x2+1)(y2+1)=x2y2+y2+x2+1=x2y2+(x+y)2-2xy+1=22+9-2×2+1=10.

　　方法總結(jié)：所求的展開式中都含有xy或x+y時(shí)，我們可以把它們看作一個(gè)整體代入到需要求值的代數(shù)式中，整體求解.

　　【類型五】 完全平方公式的幾何背景

　　我們已經(jīng)接觸了很多代數(shù)恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數(shù)恒等式.例如圖甲可以用來解釋(a+b)2-(a-b)2=4ab.那么通過圖乙面積的計(jì)算，驗(yàn)證了一個(gè)恒等式，此等式是(　　)

　　A.a2-b2=(a+b)(a-b)

　　B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2

　　C.(a-b)2=a2-2ab+b2

　　D.(a+b)2=a2+2ab+b2

　　解析：空白部分的面積為(a-b)2，還可以表示為a2-2ab+b2，所以，此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故選C.

　　方法總結(jié)：通過幾何圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋.

　　【類型六】 與完全平方公式有關(guān)的探究問題

　　下表為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a+b)n(n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出(a+b)6展開式中所缺的系數(shù).

　　(a+b)1=a+b，

　　(a+b)2=a2+2ab+b2，

　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，

　　則(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.

　　解析：由(a+b)1=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各項(xiàng)展開式的系數(shù)除首尾兩項(xiàng)都是1外，其余各項(xiàng)系數(shù)都等于(a+b)n-1的相鄰兩個(gè)系數(shù)的和，由此可得(a+b)4的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、4、6、4、1;(a+b)5的各項(xiàng)系數(shù)依次為1、5、10、10、5、1;因此(a+b)6的系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1，故填20.

　　方法總結(jié)：對于規(guī)律探究題，讀懂題意并根據(jù)所給的式子尋找規(guī)律，是快速解題的關(guān)鍵.

　　三、板書設(shè)計(jì)

　　1.完全平方公式

　　兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加(或減)這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍.

　　(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

　　2.完全平方公式的運(yùn)用

　　本節(jié)課通過多項(xiàng)式乘法推導(dǎo)出完全平方公式，讓學(xué)生自己總結(jié)出完全平方公式的特征，注意不要出現(xiàn)如下錯誤：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.為幫助學(xué)生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央.教學(xué)中，教師可通過判斷正誤等習(xí)題強(qiáng)化學(xué)生對完全平方公式的理解記憶。

　　《完全平方公式》知識點(diǎn)總結(jié)

　　1.完全平方公式：

　　完全平方有三項(xiàng)，首尾符號是同鄉(xiāng)，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;

　　首尾括號帶平方，尾項(xiàng)符號隨中央。

　　2.因式分解：

　　一提(公因式)二套(公式)三分組，細(xì)看幾項(xiàng)不離譜，

　　兩項(xiàng)只用平方差，三項(xiàng)十字相乘法，陣法熟練不馬虎，

　　四項(xiàng)仔細(xì)看清楚，若有三個(gè)平方數(shù)(項(xiàng))，

　　就用一三來分組，否則二二去分組，

　　五項(xiàng)、六項(xiàng)更多項(xiàng)，二三、三三試分組，

　　以上若都行不通，拆項(xiàng)、添項(xiàng)看清楚。

　　3.單項(xiàng)式運(yùn)算：

　　加、減、乘、除、乘(開)方，三級運(yùn)算分得清，

　　系數(shù)進(jìn)行同級(運(yùn))算，指數(shù)運(yùn)算降級(進(jìn))行。

　　4.一元一次不等式解題的一般步驟：

　　去分母、去括號，移項(xiàng)時(shí)候要變號，同類項(xiàng)合并好，再把系數(shù)來除掉，

　　兩邊除(以)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號改向別忘了。

　　5.一元一次不等式組的解集：

　　大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，大小、小大無處找。

　　一元二次不等式、一元一次絕對值不等式的解集：

　　大(魚)于(吃)取兩邊，小(魚)于(吃)取中間。

　　看了“完全平方公式教學(xué)設(shè)計(jì)”