在上面的兩個例子中我們會有這樣的感覺，對于無限集合來說，從部分中似乎可以“產(chǎn)生”出整體來。比如射線上的每隔一厘米畫一個點(diǎn)的例子，如果我們把不是10的倍數(shù)的點(diǎn)去掉，然后將平面“收縮”到原來尺度的十分之一，我們就重新得到了原來的那個點(diǎn)集。在裝豆子的口袋的例子中，只要從去掉1號口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我們就又得到了原來的那個大口袋。這暗示了無限集合的一個重要特點(diǎn)：從某種意義上來說，它和自己的一部分相似。事實(shí)上，無限集合的一個定義就是“能和自己的一部分一一對應(yīng)的集合”。所以在無限集合大小的比較中，違反了“整體大于部分”的原則并不奇怪，因?yàn)檫@恰好就是無限集合的特征。

　　如果使用一一對應(yīng)的比較方法，我們發(fā)現(xiàn)它滿足所有第二節(jié)中提出的關(guān)于集合大小定義的要求。而且除了“整體大于部分”這個我們已經(jīng)解釋過的不適用的原則外，不違反其他的直覺和常識。事實(shí)上用一一對應(yīng)的方法來比較兩個集合的大小，也是非常符合直觀的。如果有兩盒火柴，我們想比較哪盒中的火柴數(shù)量更多，我們大可不必去數(shù)出每盒中火柴的數(shù)量，那樣很容易出錯。其實(shí)只要從不斷地從兩盒火柴中拿掉相同數(shù)量的火柴，最后如果同時兩盒都不剩下火柴，那么就說明數(shù)量一樣多，否則就是還剩有火柴的那盒比較多。

　　而更重要的是，這樣的定義非常有用?？低袪栐谔岢鏊P(guān)于集合的基數(shù)理論后，非常簡潔地證明了“幾乎所有實(shí)數(shù)都是超越數(shù)”，而那個時候數(shù)學(xué)家連一個超越數(shù)的實(shí)例都還沒有找到!引起第三次數(shù)學(xué)革命的羅素悖論也是從基數(shù)理論中產(chǎn)生出來的。雖然集合的基數(shù)理論現(xiàn)在已經(jīng)為一般的數(shù)學(xué)系學(xué)生和許多數(shù)學(xué)愛好者所熟悉，數(shù)學(xué)家們還是能從中找到非常有趣和深奧的課題，比如說“超大集合理論”，這是關(guān)于一些基數(shù)大得匪夷所思的集合的理論。我們知道對于任何一個集合A，它的冪集P(A)(也就是它所有子集構(gòu)成的集合)一定比它本身大，所以我們可以構(gòu)造一系列的集合A，P(A)，P(P(A))……一個比一個大，所以沒有最大的集合。而“超大集合理論”聲稱，存在一個集合B，比前面這一系列集合中的每個都要大!

　　所以說，使用一一對應(yīng)原則來定義集合大小，是數(shù)學(xué)家迫不得已和最佳的選擇。

　　直覺的合理性和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

　　在文章的最前面我們提到過，從直覺上說來，自然數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是正偶數(shù)的兩倍，這里難道沒有一點(diǎn)合理的因素在內(nèi)嗎?有時我們會聽到數(shù)學(xué)家說：“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)。

　　”如果按照一一對應(yīng)的原則，素數(shù)和自然數(shù)是一樣多的(第一個素數(shù)2對應(yīng)1，第二個素數(shù)3對應(yīng)2，第三個素數(shù)5對應(yīng)3，……第n個素數(shù)對應(yīng)n，……)，這不矛盾嗎?

　　數(shù)學(xué)并不依賴于直覺，但是尊重直覺，直覺中常常包含著合理的因素。受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人對數(shù)學(xué)的直覺一般來說要比其他人更有合理性，數(shù)學(xué)大師能夠用直覺把握住很深刻的數(shù)學(xué)理論，他們有時會說：“雖然我還沒有一個嚴(yán)格證明，但是我知道它是對的。”數(shù)學(xué)大師的直覺當(dāng)然不是每個人能模仿的，但是我們的確可以改變對一些數(shù)學(xué)物體的想像方法，來改善自己的直覺，使得它更有合理性。

　　當(dāng)我們談到集合的大小，這里所談?wù)摰募蠎?yīng)該是沒有附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的。當(dāng)所比較的集合都是自然數(shù)的子集時，直覺往往會偷偷地把自然數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)加在上面。什么是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?讓我們先從最一般的集合說起。當(dāng)我們談?wù)摷蠒r，我們只應(yīng)該把它看做一個裝著元素的大袋子，里面的元素之間沒有任何聯(lián)系，比如說自然數(shù)集合，我們應(yīng)該想像那是一個裝了標(biāo)了號的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之間并沒有什么聯(lián)系，10并不一定非得在100的前面出現(xiàn)，如果你把口袋使勁抖抖，里面的球有些翻上來有些被壓到底下去，但這并不改變這個集合——這仍然是自然數(shù)集合。

　　所謂的結(jié)構(gòu)，就是在元素間增加聯(lián)系，使得它們不能隨便亂動。建筑工地上搭的腳手架就是一種結(jié)構(gòu)，上面的鋼管啊鐵絲啊木板啊都不是隨隨便便堆在一起的，而是按照一定的方式聯(lián)系在一起。修建完了一幢大樓后，工人們會把它們都拆下來再拿到另一個工地上去安裝使用，雖然構(gòu)成腳手架的元素——鋼管鐵絲木板還是原來的那些，但是腳手架卻完全是另一個了，變化了的其實(shí)是結(jié)構(gòu)。

　　數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也一樣。比如說上面我們講的序關(guān)系，就是元素之間的一種聯(lián)系。我們可以很方便地驗(yàn)證自然數(shù)的大小滿足我們前面所說的偏序關(guān)系的三個條件，而且每兩個自然數(shù)之間都可以比較大小，所以在自然數(shù)集合上有一個全序關(guān)系，這個關(guān)系就給了自然數(shù)集合一個結(jié)構(gòu)，就叫序結(jié)構(gòu)。你可以把擁有全序結(jié)構(gòu)的自然數(shù)集合仍舊想像成上面那個裝了球的袋子，只是這時候那些球已經(jīng)被從小到大串成了一串，不能隨便亂跑了。平時我們想像自然數(shù)集合，可能會把它想成數(shù)軸上離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)的一串點(diǎn)，或者1、2、3、……這樣從小到大的一列數(shù)，不知不覺地，我們已經(jīng)把序結(jié)構(gòu)想像進(jìn)去了。當(dāng)我們感到“正偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)該是自然數(shù)個數(shù)的一半，因?yàn)槊扛粢粋€數(shù)就有一個是偶數(shù)”，我們是在想像那條串成一串的球，偶數(shù)球得老老實(shí)實(shí)地和奇數(shù)球一個隔一個地串在一起，而不是雜亂無章放在袋里，后面這種情況是談不上“每隔一個”的。

　　在考慮到自然數(shù)的序結(jié)構(gòu)后，我們就可以給“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”這種直覺一個合理的解釋了?？紤]小于100的正偶數(shù)，一共有49個，所以占小于100的自然數(shù)的49/99，接近1/2;如果把“小于100”改成“小于1000”，那么結(jié)果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000換成越來越大的數(shù)字，我們會發(fā)現(xiàn)正偶數(shù)所占的比例會越來越接近1/2。這就提示我們可以采用這樣一種關(guān)于自然數(shù)的子集的大小的定義：如果A是自然數(shù)的一個子集，令p(n)為A中小于n的元素的個數(shù)，我們稱limn→∞p(n)/n(就是當(dāng)n趨向無窮大時，p(n)/n的極限)為A相對于自然數(shù)集合的大小。在這個定義下，正偶數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小就是1/2。按照這樣的定義，素數(shù)集合相對于自然數(shù)集合的大小是0，這也就是所謂的“幾乎所有的自然數(shù)都不是素數(shù)”。用上面這個方法還可以比較兩個自然數(shù)集合的子集的相對大小，具體方法就由讀者自己來思考了。

　　如果沒有自然數(shù)序結(jié)構(gòu)這個“背景”，我們就只能夠使用一一對應(yīng)的方法來討論集合的基數(shù)，那種“自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)的個數(shù)的兩倍”的直覺只是一種錯覺。比如說考慮下面平面圖上，所有(2n,n)這樣的點(diǎn)所組成的集合(其中n是自然數(shù))。如果站在x軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每隔一列就有一個點(diǎn)，而列數(shù)顯然和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和正偶數(shù)一樣多;如果站在y軸的角度來看，我們發(fā)現(xiàn)每行都有一個點(diǎn)，而行數(shù)也和自然數(shù)一樣多，所以點(diǎn)數(shù)就該和自然數(shù)一樣多。按照集合基數(shù)的觀點(diǎn)，自然數(shù)和正偶數(shù)一樣多，上面這種情況完全不造成矛盾，但是“直覺”所給予的一會兒“一樣多”一會兒“兩倍”的印象，就沒有太大的意義了(最多得到“兩倍的無窮大等于無窮大”這種我們按照一一對應(yīng)原則早已熟知，而且解釋得更好的觀點(diǎn))。

　　除了序結(jié)構(gòu)外，還有其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。法國著名的布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以混雜在一起得出不同的數(shù)學(xué)對象，比如說實(shí)數(shù)集上有比較大小的序結(jié)構(gòu)，還有由算術(shù)運(yùn)算(加和乘，減和除是它們的逆運(yùn)算)定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及由極限理論(它規(guī)定了某些點(diǎn)必須在另一些點(diǎn)的“附近”)定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。布爾巴基學(xué)派試圖用結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，出版了著名的《數(shù)學(xué)原理》。結(jié)構(gòu)主義的觀點(diǎn)大致來說，就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)決定數(shù)學(xué)對象。兩個分別定義在兩個不同集合上的數(shù)學(xué)對象，如果它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，那么即使集合中的元素很不相同，它們其實(shí)也是同一個數(shù)學(xué)對象。在數(shù)學(xué)中我們有時會碰到“同構(gòu)”這個詞，就是指在某種一一映射下，兩個數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同。

　　舉一個簡單的例子。中學(xué)里我們學(xué)過復(fù)數(shù)和它的幾何表示法，知道每個復(fù)數(shù)都可以對應(yīng)到直角坐標(biāo)平面上的一個點(diǎn)，而復(fù)數(shù)的加法和乘法也都有各自的幾何意義。在這里，一個復(fù)數(shù)是a+bi這樣的一對數(shù)，還是平面上的一個點(diǎn)(a,b)并不是關(guān)鍵，盡管一對數(shù)和一個點(diǎn)是完全不同的兩樣?xùn)|西，只要在實(shí)數(shù)對集合和平面點(diǎn)集上面由加法和乘法決定代數(shù)結(jié)構(gòu)是相同的，它們都可稱作是復(fù)數(shù)，是同一個數(shù)學(xué)對象。相反地，如果我們在平面上定義另一種乘法為(a1, b1)*(a2, b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么盡管平面上的點(diǎn)仍舊是那些，但是因?yàn)樵谏厦嫠x的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變了，于是就完全是兩種不同的數(shù)學(xué)對象了。

　　象上面這樣的例子中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的相同當(dāng)然很直觀，而有一些此類問題則牽涉到極其深刻的數(shù)學(xué)理論，比如說著名的龐加萊猜想(新千年的七大數(shù)學(xué)問題之一，價值百萬美金:-))就是問，是否任意閉單連通3維流形都同胚于3維球，換句話說，是否給定了“閉單連通”這個條件，在3維流形上就只能有一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，也就是3維球的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?另外，證明兩個原來似乎沒有關(guān)系的數(shù)學(xué)對象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)其實(shí)是相同的，意義非常重大，這樣的定理是連通兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的橋梁。這意味著這兩個數(shù)學(xué)對象其實(shí)是同一種東西，對于其中一個數(shù)學(xué)對象成立的理論，可以立刻應(yīng)用在另一個上面;以往用來研究一種數(shù)學(xué)對象的方法，就可以被用來研究另一類數(shù)學(xué)對象。本文開頭說到英國數(shù)學(xué)家懷爾斯證明了費(fèi)爾馬大定理，他證明的其實(shí)是更一般的“谷山-志村猜想”。這個猜想就是此類意義重大的命題，它溝通了兩個數(shù)學(xué)領(lǐng)域：橢圓曲線和模形式。它的證明被稱為是“人類智慧的凱歌”。

　　最后舉個搞笑的例子。網(wǎng)上有人發(fā)現(xiàn)了下面兩張圖片，左邊是變形金剛的電影招貼，右邊是藍(lán)貓的廣告，構(gòu)成畫面的元素不同，一個是機(jī)器人，一個是藍(lán)貓和它的朋友，但是擺的“甫士”和畫面結(jié)構(gòu)卻相同，也算是個不光彩的“同構(gòu)”例子吧。

　　“一個平面上的點(diǎn)應(yīng)該比一條直線上的點(diǎn)的個數(shù)多”這樣的直覺也可以用附加的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來解釋合理性。當(dāng)我們想像直線或平面上的點(diǎn)時，我們不但想像了那些點(diǎn)集，同時也在想像著這些點(diǎn)集構(gòu)成的直線和平面，于是它們就再不是那些集合中散亂的點(diǎn)了，它們的排列非常有規(guī)律。換句話說，我們在點(diǎn)集上增加了決定直線和平面的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。如果我們把直線和平面看作是實(shí)數(shù)域上的線性空間(關(guān)于線性空間的理論是線性代數(shù)，所有理科的學(xué)生會在大學(xué)一年級學(xué)習(xí))，我們就遇見了一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：首先我們需要一個實(shí)數(shù)域，上面有一個域的代數(shù)結(jié)構(gòu)，其次我們在直線和平面的點(diǎn)集上定義了一個交換群的代數(shù)結(jié)構(gòu)，最后在實(shí)數(shù)域和交換群上定義了稱作“數(shù)乘”的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這個代數(shù)結(jié)構(gòu)同域和交換群上的各種運(yùn)算都兼容，這樣我們最終得到了這個被稱為“實(shí)數(shù)域上的線性空間”的代數(shù)結(jié)構(gòu)。上面這一串話也許有點(diǎn)復(fù)雜，但是中心思想就是上面所說的結(jié)構(gòu)主義的思想：數(shù)學(xué)對象是由各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)混雜在一起(當(dāng)然要合理地混雜在一起，上面所說的“兼容”就是這個意思)而得到的。一旦我們這樣規(guī)定了線性空間的結(jié)構(gòu)，我們就可以定義線性空間的維數(shù)，這時我們可以說，兩維的線性空間(平面)在這種意義下要比一維的線性空間(直線)大。

　　從上面兩個例子我們看到，當(dāng)集合中的元素只是被看做一個沒有任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的集合中散亂的元素時，我們只能用一一對應(yīng)的方法來比較集合的大小;而當(dāng)豐富多彩的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)被加在集合上時，我們才有可能用更精細(xì)和更符合直覺的手段來定義不同的比較(附加有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的)集合大小的方法。