高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試
以下是小編在期末之際為大家推薦有關(guān)高二數(shù)學(xué)的上學(xué)期期中測(cè)試題和部分解答題的答案，希望對(duì)大家的考試有所幫助!
高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試題
一、填空題(本題共14小題，每小題5分，合計(jì)70分。請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的位置上.)
1. 不等式3-xx-1>0的解集為_(kāi)___ ▲____.
2. 若命題“對(duì) x∈R，x2+4cx+1>0”是假命題，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是___ ▲_____.
3.從1、2、3、4中任取兩個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于20的概率為_(kāi)___ ▲____.
4. 某人5 次上學(xué)途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x,8,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為_(kāi)___ ▲____.
5.如果執(zhí)行如圖所示的流程圖，那么輸出的S=___ ▲_____.
6.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________條件.(選填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
7.在區(qū)間[-5,5]內(nèi)隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)a，則使得a∈{a|-a2+a+2>0}的概率為_(kāi)___ ▲____.
8. 已知橢圓x210-m+y2m-2=1，長(zhǎng)軸在y軸上.若焦距為4，則m=___ ▲____.
9.已知變量x、y滿足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，則 的最大值______ ▲_______.
10. 已知正數(shù)x，y滿足x+ty=1，t是給定的正實(shí)數(shù).若1x+1y的最小值為16，則正實(shí)數(shù)t的值是 ▲ .
11.已知函數(shù)f(x)=21-x，x≤1，2-log2x，x>1，則滿足f(x)≥1的x的取值范圍是_______▲ _____.
12.已知橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，x軸一點(diǎn)M( ,0)，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于____▲ ____.
13. 不等式a2+8b2≥λb(a+b)對(duì)任意a、b∈R恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_____▲ ______.
14.設(shè)a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x、y，都存在以a、b、c為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是____▲ ______.
二、解答題(本題共6小題，合計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
15.(本小題14分)設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，q：實(shí)數(shù)x滿足 .
(1) 若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
(2) 若 p是 q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
16.(本小題14分).已知函數(shù)f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞).
(1) 當(dāng)a=4時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值;
(2) 若對(duì)任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17.(本小題14分)從參加高二年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：
(1) 求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)根據(jù)上面補(bǔ)充完整的頻率分布直方圖估計(jì)出本次考試的平均分;
(3) 用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[40,60)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至少有1人在分?jǐn)?shù)段[50,60)的概率.
18.(本小題16分) 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2. 過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為M(2，1).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0，-b)，直線BF2交橢圓C于另一點(diǎn)N，求△F1BN的面積.
19.(本小題16分)某市出租汽車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：在3km以內(nèi)(含3km)的路程統(tǒng)一按起步價(jià)7元收費(fèi)，超過(guò)3km以外的路程按2.4元/km收費(fèi). 而出租汽車(chē)一次載客的運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用約為2.3元;二是燃油費(fèi)，約為1.6元/km;三是折舊費(fèi)，它與路程的平方近似成正比，且當(dāng)路程為100km時(shí)，折舊費(fèi)約為0.1元. 現(xiàn)設(shè)一次載客的路程為xkm.
(1) 試將出租汽車(chē)一次載客的收費(fèi)F與成本C分別表示為x的函數(shù);
(2) 若一次載客的路程不少于2km，則當(dāng)x取何值時(shí)，該市出租汽車(chē)一次載客每km的收益y取得最大值?
20.(本小題16分)設(shè)A1、A2與B分別是橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，直線A2B與圓C：x2+y2=1相切.
(1) 求證：1a2+1b2=1;
(2) P是橢圓E上異于A1、A2的一點(diǎn)，直線PA1、PA2的斜率之積為-13，求橢圓E的方程;
(3) 直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且OM→•ON→=0，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.
高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試部分答案
二、解答題(本題共6小題，合計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
15.(本小題14分)解：(1) 由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，
所以a
當(dāng)a=1時(shí)，1
由 ，得2
即q為真時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是2
若p∧q為真，則p真且q真，…………………………………………………………………………………5分
所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是2
(2) p是 q的充分不必要條件，即 p q，且 q p.
設(shè)A={x| p}，B={x| q}，則A B.
又A={x| p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x| q}={x≤2或x>3}，則03，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1
16.(本小題14分) 解：(1) 由a=4，∴f(x)=x2+2x+4x=x+4x+2≥6，當(dāng)x=2時(shí)，取得等號(hào).
即當(dāng)x=2時(shí)，f(x)min=6.………………………………………………………………………………6分
(沒(méi)有寫(xiě)等號(hào)成立的條件扣2分，如用函數(shù)單調(diào)性需要證明)
(2) x∈[1，4]，x2+2x+ax>6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a>6x恒成立.
等價(jià)于a>-x2+4x，當(dāng)x∈[1，4]時(shí)恒成立，
令g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分
∴a>g(x)max=g(2)=4，即.
∴a的取值范圍是a>4……………………………………………………………………………………14分
17.(本小題14分)解：(1) 分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率為
1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.
又0.310=0.03，補(bǔ)出的圖形如下圖所示.……………………………………………………………4分
(2) 平均分為：x -=45×0.1+55×0. 15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答：估計(jì)這次考試的平均分是71分.………………………………………………………………………………………8分
(3) 由題意，[40,50)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為0.10×60=6人;[50,60)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為0.15×60=9人;
在[40,60)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為5的樣本，在[40,50)分?jǐn)?shù)段抽取2人，分別記為m，n;[50,60)分?jǐn)?shù)段抽取3人，分別記為a，b，c，
設(shè)從樣本中任取2人，至少有1人在分?jǐn)?shù)段[50,60)為事件A，則基本事件空間包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10種，則事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9種，
所以P(A)= =0.9.……………………………………………………………………………………14分
18.(本小題16分)解：(1) 由橢圓定義可知|MF1|+|MF2|=2a. 由題意|MF2|=1，∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a=2.又a2-b2=2，得b2=2.
∴橢圓C的方程為x24+y22=1.……………………………………………………………………………6分
(2) 直線BF2的方程為y=x-2.
由 y=x-2x24+y22=1)，得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為23. ………………………………………………………10分
又|F1F2|=22，
∴S△F1BN=12×2+23×22=83……………………………………………………………………16分
(2) (本小題16分)解：(1) F(x)= ，
即F(x)= .…………………………………………………………………………2分
設(shè)折舊費(fèi)z=kx2，將(100,0.1)代入，
得0.1=1002k 解得k=1105……………………………………………………………………4分
，所以C(x)=2.3+1.6x+1105x2.………………………………………………………………………………6分
(2) 由題意得y=4.7x-1105x-1.6， 2≤x≤30.8-2.5x+1105x， x>3，………………………………………………9分
?、佼?dāng)x>3時(shí)，由基本不等式，得y≤0.8-225106=0.79(當(dāng)且僅當(dāng)x=500時(shí)取等號(hào));………12分
?、诋?dāng)2≤x≤3時(shí)，由y在[2,3]上單調(diào)遞減，
得ymax=4.72-2105-1.6=0.75-2105<0.79.……………………………………………………………15分
答： 該市出租汽車(chē)一次載客路程為500km時(shí)，每km的收益y取得最大值.…………………………16分
20.(本小題16分) (1) 證明：已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2與B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直線A2B的方程是xa+yb=1.
因?yàn)锳2B與圓C：x2+y2=1相切，所以11a2+1b2=1，
即1a2+1b2=1.…………………………………………………………………………………………4分
(2) 解：設(shè)P(x0，y0)，則直線PA1、PA2的斜率之積為
kPA1•kPA2=y0x0+a•y0x0-a=y20x20-a2=-13?x20a2+3y20a2=1，而x20a2+y20b2=1，
所以b2=13a2.………………………………………………………………………………………8分
結(jié)合1a2+1b2=1，得a2=4，b2=43.
所以，橢圓E的方程為x24+3y24=1.………………………………………………………………10分
(3) 解：設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2).
?、?若直線l的斜率存在，設(shè)直線l為y=kx+m，
由y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得x2a2+kx+m2b2=1.
化簡(jiǎn)，得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(Δ>0).
∴ x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=a2k2m2-a2b2k2b2+a2k2+km-2a2kmb2+a2k2+m2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.
因?yàn)镺M→•ON→=0，所以x1x2+y1y2=0.
代入，得(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.
結(jié)合(1)的1a2+1b2=1，得m2=1+k2.