勾股定理及其逆定理是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一,它的應(yīng)用極其廣泛.以下是小編為大家整理有關(guān)勾股定理應(yīng)用的案例分析,歡迎大家參閱!

　　勾股定理的綜合應(yīng)用教學(xué)案例

　　一、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算

　　1.求面積

　　例1:如圖1,在等腰△ABC中,腰長(zhǎng)AB=10cm,底BC=16cm,試求這個(gè)三角形面積。

　　析解:若能求出這個(gè)等腰三角形底邊上的高,就可以求出這個(gè)三角形面積。而由等腰三角形"三線合一"性質(zhì),可聯(lián)想作底邊上的高AD,此時(shí)D也為底邊的中點(diǎn),這樣在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=102-82=36,所以AD=6cm,所以這個(gè)三角形面積為 ×BC×AD= ×16×6=48 cm2。

　　2.求邊長(zhǎng)

　　例2:如圖2,在△ABC中,∠C=135?,BC= ,AC=2,試求AB的長(zhǎng)。

　　析解:題中沒(méi)有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考慮過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,交AC的延長(zhǎng)線于D點(diǎn),構(gòu)成Rt△CBD和Rt△ABD。在Rt△CBD中,因?yàn)?ang;ACB=135?,所以∠BCB=45?,所以BD=CD,由BC= ,根據(jù)勾股定理得BD2+CD2=BC2,得BD=CD=1,所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中,由勾股定理得AB2= AD2+BD2=32+12=10,所以AB= 。

　　點(diǎn)評(píng):這兩道題有一個(gè)共同的特征,都沒(méi)有現(xiàn)成的直角三角形,都是通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線,巧妙構(gòu)造直角三角形,借助勾股定理來(lái)解決問(wèn)題的,這種解決問(wèn)題的方法里蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中很重要的轉(zhuǎn)化思想,請(qǐng)同學(xué)們要留心。

　　二、利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形

　　例3:已知a,b,c為△ABC的三邊長(zhǎng),且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷△ABC的形狀。

　　析解:由于所給條件是關(guān)于a,b,c的一個(gè)等式,要判斷△ABC的形狀,設(shè)法求出式中的a,b,c的值或找出它們之間的關(guān)系(相等與否)等,因此考慮利用因式分解將所給式子進(jìn)行變形。因?yàn)閍2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+ b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+ b2-24b+144+ c2-26c+169=0,所以(a-5)2+ (b-12)2+ (c-13)2=0。因?yàn)?a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因?yàn)?2+122=132,所以a2+ b2= c2,即△ABC是直角三角形。

　　點(diǎn)評(píng):用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題是勾股定理的逆定理的"數(shù)形結(jié)合思想"的重要體現(xiàn)。

　　三、利用勾股定理說(shuō)明線段平方和、差之間的關(guān)系

　　例4:如圖3,在△ABC中,∠C=90?,D是AC的中點(diǎn),DE⊥AB于E點(diǎn),試說(shuō)明:BC2=BE2-AE2。

　　析解:由于要說(shuō)明的是線段平方差問(wèn)題,故可考慮利用勾股定理,注意到∠C=∠BED=∠AED=90?及CD=AD,可連結(jié)BD來(lái)解決。因?yàn)?ang;C=90?,所以BD2=BC2+CD2。又DE⊥AB,所以∠BED=∠AED=90?,在Rt△BED中,有BD2=BE2+DE2。在Rt△AED中,有AD2= DE2+AE2。又D是AC的中點(diǎn),所以AD=CD。故BC2+CD2= BC2+ A D2= BC2+ DE2+AE2= BE2+ DE2,所以BE2= BC2+ AE2,所以BC2=BE2-AE2。

　　點(diǎn)評(píng):若所給題目的已知或結(jié)論中含有線段的平方和或平方差關(guān)系時(shí),則可考慮構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題。