2016湖北省理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題
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2016湖北省理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題
一、填空題(每空正確3分，滿分36分)
1.已知全集 ，集合 ，則 .
2.某工廠生產(chǎn) 、 、 三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為 ，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為 的樣本，其中 種型號產(chǎn)品有 件，那么此樣本的容量 .
3.設(shè) ， ，若 是 的充分條件，則實數(shù) 的取值范圍是 .
4.若雙曲線 的一個焦點(diǎn)是 ，則實數(shù) .
5.已知圓 與直線 相切，則圓 的半徑 .
6.若 是實系數(shù)一元二次方程 的一個根，則 .
7.盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標(biāo)有數(shù)字 、 、 、 的四個小球，從盒子里隨機(jī)摸出兩個小球，那么事件“摸出的小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為 ”的概率是 .
8.函數(shù) 的反函數(shù)為 .
9.在 中，已知 ，且 的面積 ，則 的值為 .
10.已知 為單位矩陣，且 ，則 .
11.如圖，在矩形 中， 為邊 的中點(diǎn)， ， ，分別以 、 為圓心， 為半徑作圓弧 、 ( 在線段 上).由兩圓弧 、 及邊 所圍成的平面圖形繞直線 旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為 .
12.定義函數(shù) ，則函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為 .
二、單項選擇題(每題正確3分，滿分36分)
13.正方體中兩條面對角線的位置關(guān)系是 ( )
A.平行 B.異面
C.相交 D.平行、相交、異面都有可能
14.下列命題中正確的是 ( )
A.任意兩復(fù)數(shù)均不能比較大小 B.復(fù)數(shù) 是實數(shù)的充要條件是
C.復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)的充要條件是 D. 的共軛復(fù)數(shù)是
15.與函數(shù) 有相同圖像的一個函數(shù)是 ( )
A. B.
C. D.
16.下列函數(shù)是在 上為減函數(shù)的是 ( )
A. B. C. D.
17.在空間中，設(shè) 、 是不同的直線， 、 是不同的平面，且 ， ，則下列命題正確的是 ( )
A.若 ，則 B.若 、 異面，則 、 平行
C.若 、 相交，則 、 相交 D.若 ，則
18.設(shè) 是函數(shù) 圖像上任意一點(diǎn)，則下列各點(diǎn)中一定在該圖像上的是 ( )
A. B. C. D.
19.設(shè)橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為 、 ，上頂點(diǎn)為 ，若 ，則該橢圓的方程為 ( )
A. B. C. D.
20.在二項式 的展開式中，系數(shù)最大項的系數(shù)是 ( )
A. B. C. D.
21.已知數(shù)列 的首項 ， ，則下列結(jié)論正確的是 ( )
A.數(shù)列是 等比數(shù)列 B.數(shù)列 是等比數(shù)列
C.數(shù)列是 等差數(shù)列 D.數(shù)列 是等差數(shù)列
22.在 中， ，則角 的取值范圍是 ( )
A. B. C. D.
23.對于使 成立的所有常數(shù) 中，我們把 的最小值叫做 的上確界，若 、 且 ，則 的上確界為 ( )
A. B. C. D.
24.定義兩個實數(shù)間的一種新運(yùn)算“ ”： ， 、 。對于任意實數(shù) 、 、 ，給出如下結(jié)論：① ;② ;③ .其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
三、解答題(7+7+8+13+13+14+16=78分)(寫出必要的解題步驟)
25.判斷函數(shù) 的奇偶性.
26.如圖，四棱錐 的側(cè)棱都相等，底面 是正方形， 為對角線 、 的交點(diǎn)， ，求直線 與面 所成的角的大小.
27.已知函數(shù) ，求 的最小正周期，并求 在區(qū)間 上的最大值和最小值.
28.為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計劃用若干年時間更換一萬輛燃油型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車。今年初投入了電力型公交車 輛，混合動力型公交車 輛，計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加 ，混合動力型車每年比上一年多投入 輛.設(shè) 、 分別為第 年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，設(shè) 、 分別為 年里投入的電力型公交車、混合動力型公交車的總數(shù)量。
(1)求 、 ，并求 年里投入的所有新公交車的總數(shù) ;
(2)該市計劃用 年的時間完成全部更換，求 的最小值.
29.曲線 是平面內(nèi)到直線 和直線 的距離之積等于常數(shù) 的點(diǎn)的軌跡，設(shè)曲線 的軌跡方程 .
(1)求曲線 的方程 ;
(2)定義：若存在圓 使得曲線 上的每一點(diǎn)都落在圓 外或圓 上，則稱圓 為曲線 的收斂圓.判斷曲線 是否存在收斂圓?若存在，求出收斂圓方程;若不存在，請說明理由.
30.對于正項數(shù)列 ，若 對一切 恒成立，則 對 也恒成立是真命題.
(1)若 ， ，且 ，求證：數(shù)列 前 項和 ;
31.設(shè) 是定義在 上的函數(shù)，若對任何實數(shù) 以及 中的任意兩數(shù) 、 ，恒有 ，則稱 為定義在 上的 函數(shù).
(1)證明函數(shù) 是定義域上的 函數(shù);
(2)判斷函數(shù) 是否為定義域上的 函數(shù)，請說明理由;
(3)若 是定義域為 的函數(shù)，且最小正周期為 ，試證明 不是 上的 函數(shù).
2016湖北省理科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題答案
一、填空題(每題3分)
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二、單項選擇題(每題3分)
13.D 14.B 15.D 16.A 17.C 18.B
19.A 20.C 21.B 22.C 23.A 24.D
三、解答題(7+7+8+13+13+14+16=78分)
25. ， 1分
所以函數(shù) 的定義域是 ， 2分
定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱， 3分
4分
， 5分
而 ， ， ， 6分
所以 是奇函數(shù)不是偶函數(shù)。 7分
26. 為正方形， 為 、 的中點(diǎn)，
又 ， 2分
因為 與 交于一點(diǎn) ，
平面 ， 4分
為直線 與平面 所成的角， 5分
在 ， 6分
所以直線 與平面 所成的角為 . 7分
27.解：
2分， 4分
5分
因為 ，所以 ， 6分
當(dāng) 時，即 時， 的最大值為 ， 7分
當(dāng) 時，即 時， 的最小值為 . 8分
28.(1)設(shè) 、 分別為第 年投入的電力型公交車、混合動力型公交車的數(shù)量，
依題意知，數(shù)列 是首項為 、公比為 的等比數(shù)列; 1分
數(shù)列 是首項為 、公差為 的等差數(shù)列， 2分
所以數(shù)列 的前 和 ， 4分
數(shù)列 的前 項和 ， 6分
所以經(jīng)過 年，該市更換的公交車總數(shù); 7分
(2)因為 、 是關(guān)于 的單調(diào)遞增函數(shù)， 9分
因此 是關(guān)于 的單調(diào)遞增函數(shù)， 10分
所以滿足 的最小值應(yīng)該是 ， 11分
即 ，解得 ， 12分
又 ，所以 的最小值為147. 13分
29.(1)設(shè)動點(diǎn)為 ，則由條件可知軌跡方程是 ; 3分
(2)設(shè) 為曲線 上任意一點(diǎn)，可以證明
則點(diǎn) 關(guān)于直線 、點(diǎn) 及直線 對稱的點(diǎn)仍在曲線 上 6分
根據(jù)曲線 的對稱性和圓的對稱性，若存在收斂圓，
則該收斂圓的方程是 7分
討論： 時 最多一個有一個交點(diǎn) 滿足條件 8分
(1)代入(2)得 10分
曲線 存在收斂圓 11分
收斂圓的方程是 13分
30.(1) ， 2分
， 4分
， 6分
; 7分
(2) ， 10分
， 11分
， 12分
13分
。 14分
31.(1)證明如下：
對任意實數(shù) 及 ，
有 2分
， 4分
即 ， 5分
∴ 是 函數(shù); 6分
(2) 不是 函數(shù)， 7分
說明如下(舉反例)：
取 ， ， ，
則
，
即 ，
∴ 不是 函數(shù); 10分
(3)假設(shè) 是 上的 函數(shù)， 11分
若存在 且 ，使得 。
(i)若 ，
記 ， ， ，則 ，且 ，
那么
，
這與 矛盾; 13分
(ii)若 ，
記 ， ， ，同理也可得到矛盾; 14分
∴ 在 上是常數(shù)函數(shù)， 15分
又因為 是周期為 的函數(shù)，
所以 在 上是常數(shù)函數(shù)，這與 的最小正周期為 矛盾. 16分
所以 不是 上的 函數(shù)。